Equação do 4º Grau

🧮 Entendendo a Equação do 4º Grau: Conceito, Comparações e Como Resolver

As equações polinomiais fazem parte do coração da matemática algébrica. Depois de dominarmos as equações de 1º, 2º e 3º grau, chega o momento de encarar o desafio das equações do 4º grau, também chamadas de equações quárticas.

📌 O que é uma equação do 4º grau?

Uma equação do 4º grau é uma equação polinomial da forma:

a x⁴+ bx³ + cx² + dx + e = 0

Onde:

- a ≠ 0

- Os coeficientes (a, b, c, d, e) pertencem aos números reais ou complexos.

Segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, toda equação do 4º grau possui quatro raízes (reais ou complexas), simples ou múltiplas.

🧠 Como Resolver uma Equação do 4º Grau?

Existem diferentes abordagens, dependendo da estrutura da equação:

✅ 1. Equação Biquadrática

Forma: ax⁴ + cx+² e = 0

- Substituímos x²= y , transformando em uma equação do 2º grau.

- Resolvemos para y , depois voltamos para \(x\) com x = x✓y 

✅ 2. Método de Ferrari

Usado para equações completas. Envolve:

- Redução da equação geral.

- Transformação em uma diferença de quadrados.

- Resolução por meio de equações auxiliares de 2º grau.

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Equação Modular do 2º Grau!

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👑 O Desafio Final: Equação Modular do 2º Grau! 🤯

Você já domina Bhaskara e Módulo? Chegou a hora de unir esses conhecimentos! Resolver uma equação do tipo |ax^2 + bx + c| = k exige um processo em três etapas:

1️⃣ Passo: Separar em Dois Casos

O princípio fundamental é o mesmo: o valor dentro do módulo pode ser igual a k ou igual a -k (desde que k \ge 0).

Caso 1 (Positivo): A expressão é igual a k.

Caso 2 (Negativo): A expressão é igual a -k.

🚨 Resultado: Você terá duas novas Equações do 2º Grau para resolver!

2️⃣ Passo: Resolver as Duas Equações

Use a Fórmula de Bhaskara (\Delta = b^2 - 4ac) para encontrar as raízes de CADA uma das equações criadas no Passo 1.

📝 Exemplo Rápido: Resolva |x^2 - 5x + 1| = 5

Caso Equação (Simplificada) Raízes (Solução por Bhaskara)

+ \mathbf{x^2 - 5x - 4 = 0} x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}

- \mathbf{x^2 - 5x + 6 = 0} x_3 = 2 e x_4 = 3

3️⃣ Passo: Juntar o Conjunto Solução

A solução final é a união de TODAS as raízes reais encontradas nos dois casos.

✅ Solução Final do Exemplo:

💡 Dica Bônus: Transformação de Variável!

Em equações como x^2 + 3|x| - 10 = 0, lembre-se que x^2 = |x|^2.

Substitua: |x|^2 + 3|x| - 10 = 0

Defina y = |x|.

Resolva a equação de 2º Grau em y: y^2 + 3y - 10 = 0.

Volte para x: Para cada y \ge 0 encontrado, as soluções de x serão \pm y.