Matematica online RJ: abril 2013

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes proporcionais”. Através de exercícios aplicados compreenderemos o Teorema. Podemos demonstrar o Teorema através de uma generalização, onde as retas r, s, x são paralelas e as retas t e w são as transversais. Veja:

Pelo Teorema temos que

Exemplo 1
Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomínio, o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

Com base na planta devemos calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.

Exemplo 2

Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.
Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicando o Teorema de Tales, temos:

Racionalização de Frações (Introdução)

Esta técnica consiste em multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua apresentação).

Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?

- Isso mesmo, 1 (um) :)

Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:

5 · 1 = 5

123 · 1 = 123

Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:



$formdata=\Large\frac{sqrt{\frac{7}{32}}}{sqrt{\frac{7}{32}}}=1$

Agora sim vamos ver Racionalização de Frações.

Racionalização de Frações (1^o caso)

O primeiro caso é quando temos apenas uma raiz sozinha no denominador.
Vamos ver como se racionaliza uma fração aplicando em um exemplo. Temos a fração $formdata=\frac{32}{sqrt+5}$ e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz em baixo.

A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.

Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso

Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):

$formdata=\frac{32\cdot\sqrt{5}}{sqrt+5\cdot\sqrt{5}}=\frac{32\sqrt+5}{5}$

Pronto, achamos a fração procurada:

Mais exemplos:

fração	racionalização
$formdata=\Large\frac{1}{sqrt+5}$	$formdata=\frac{1}{sqrt{5}}\times\frac{sqrt+5}{sqrt+5}=\frac{sqrt+5}{5}$
$formdata=\Large\frac{3}{sqrt+3}$	$formdata=\frac{3}{sqrt+3}\times\frac{sqrt+3}{sqrt+3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=sqrt+3$
$formdata=\Large\frac{4}{sqrt{12}}$	$formdata=\frac{4}{sqrt{12}}\times\frac{sqrt{12}}{sqrt{12}}=\frac{4\sqrt{12}}{12}=\frac{sqrt{12}}{3}=\frac{sqrt{4\cdot+3}}{3}=\frac{2\sqrt+3}{3}$ Tivemos que fatorar o 12

Racionalização de Frações (2^o caso)

O segundo acontece quando, além da raiz temos outro número somado à ela no denominador. Exemplo:

$formdata=\frac{23}{4+sqrt+5}$

$formdata=\frac{sqrt+2}{3-sqrt+7}$

$formdata=\frac{sqrt+5}{sqrt+6-sqrt{21}}$

Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.

Veja os exemplos:

$formdata=\Large\frac{23}{4+sqrt{5}}$	$formdata=\frac{23}{4+sqrt{5}}\times$ $formdata=\blue\frac{4-sqrt+5}{4-sqrt+5}$ $formdata==\frac{23\cdot(4-sqrt+5)}{(4+sqrt+5)\cdot(4-sqrt+5)}=\frac{92-23\sqrt+5}{16+4\sqrt+5-4\sqrt+5-5}=\frac{92-23\sqrt+5}{11}$
$formdata=\Large\frac{5}{sqrt+6+sqrt{21}}$	$formdata=\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{21}}\time$ $formdata=\blue\frac{sqrt+6-sqrt+21}{sqrt+6-sqrt+21}$ $formdata==\frac{5\cdot(sqrt+6-sqrt{21})}{6-21}=\frac{5\cdot(sqrt+6-sqrt{21})}{-15}=-\frac{sqrt+6-sqrt{21}}{3}$

Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar.

Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.

Racionalização de Frações (3^o caso)

O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador. Veja os exemplos:

$formdata=\frac{21}{\sqrt{3+sqrt+7}}$

$formdata=\frac{3}{sqrt{4+\sqrt{15}}}$

$formdata=\frac{sqrt+3}{sqrt{9-\sqrt{29}}}$

$formdata=\frac{8}{sqrt{5-\sqrt{87}}}$

Para resolver estes casos, vamos ter que calcular dois passos. Primeiro devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:

$formdata=\Large\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt+7}}$	$formdata=\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt+7}}\times$ $formdata=\blue\frac{\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{3-\sqrt+7}}$ $formdata==\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{(3+\sqrt+7)\cdot(3-\sqrt+7)}}=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{9-7}}=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{sqrt+2}$
Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador. - Isso mesmo, agora a gente aplica o 1° caso nesse resultado.
$formdata=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{sqrt+2}\times$ $formdata=\blue\frac{sqrt+2}{sqrt+2}$ $formdata==\frac{21\sqrt+2\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{2}=\frac{21\cdot\sqrt{2\cdot(3-\sqrt+7)}}{2}=\frac{21\sqrt{6-2\sqrt+7}}{2}$

Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.

Veja no próximo tópico como fazer se for uma raiz diferente de quadrada.

Racionalização de Frações (4^o caso)

Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no vestibular também.

Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador. Veja uns exemplos:

$formdata=\Large\frac{2}{\sqrt[3]{65}}$	$formdata=\Large\frac{sqrt+2}{\sqrt[5]{12^3}}$
$formdata=\Large\frac{7}{\sqrt[8]{625}}$	$formdata=\Large\frac{121}{\sqrt[11]{121}}$

Para resolver este tipo de questão, novamente devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e nos seja conveniente (que retire a raiz do denominador).

Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:

$formdata=\Large\sqrt[x]{a^b}\times\sqrt[y]{a^c}=a^{\frac{b}{x}+\frac{c}{y}}$

Sendo que o expoente do resultado $formdata=\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$ , deve ser 1.Vamos ver um exemplo:

$formdata=\Large\frac{2}{\sqrt[3]{65}}$

Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz do denominador em potência

$formdata=\Large\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}$

Pronto, agora em cima deste $formdata=\frac{1}{3}$ devemos achar um expoente que somado a ele resulte 1.

$formdata=\frac{1}{3}+x=1\hspace{40}x=1-\frac{1}{3}\hspace{40}x=\frac{2}{3}$

O expoente que procuramos é $formdata=\frac{2}{3}$ , agora vamos multiplicar.

$formdata=\Large\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}\times\frac{65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{2}{3}}}$

$formdata=\frac{2\cdot+65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{1}{3}}\times+65^{\frac{2}{3}}}=\frac{2\sqrt[3]{65^2}}{65^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\frac{2\sqrt[3]{65^2}}{65^{1}}=\frac{2\sqrt[3]{4225}}{65}$

Esta é a resposta final. Pois o 4225, ao ser fatorado, não ajuda em nada.

Agora faça os exercícios sobre potênciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.

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sábado, 13 de abril de 2013

Teorema de Tales

Racionalização de frações

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